Có bao nhiêu số thực a < - 1

84/235

Có bao nhiêu số thực \(a < - 1\) để \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + a}}dx} = \frac{1}{{2\sqrt { - a} }}{\rm{ln}}\frac{1}{2}\)?

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính tích phân và đánh giá

Lời giải

Do \(a < - 1\) nên không mất tổng quát giả sử \(a = - b\), ta tìm \(b > 1\). thỏa mãn yêu cầu.

Có bao nhiêu số thực a < - 1 (ảnh 1)

\( = \left. {\frac{1}{{2\sqrt a }}{\rm{ln}}\left| {\frac{{x - \sqrt a }}{{x + \sqrt a }}} \right|} \right|_0^1 = \frac{1}{{2\sqrt a }}{\rm{ln}}\left| {\frac{{1 - \sqrt b }}{{1 + \sqrt b }}} \right|\)

Theo giả thiết ta có:

\(\left| {\frac{{1 - \sqrt b }}{{1 + \sqrt b }}} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\left| {1 - \sqrt b \left| = \right|1 + \sqrt b } \right| \Leftrightarrow 3b - 10\sqrt b + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt b = \frac{1}{3}}\\{\sqrt b = 3}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{1}{9}}\\{b = 9}\end{array}} \right.\)

Do \(b > 1\) nên \(b = 9 \Rightarrow a = - 9\).