Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|^2 = 2|z + z| + 4 và

Đáp án: 3

Phương pháp giải: +) Gọi số phức z=a+b⁢i⇒z¯⁢⁢ =a-b⁢i.

+) Từ mỗi giải thiết đã cho, tìm đường biểu diễn số phức z.

+) Tìm giao điểm của đường biểu diễn số phức z ở giả thiết thứ nhất và thứ 2.

Giải chi tiết:

Gọi số phức z=a+b⁢i⇒z¯⁢⁢ =a-b⁢i.

Từ giả thiết thứ nhất ta có :

|z|2=2|z+z¯|+4⇔a2+b2-2.2|a|-4=0⇔[a2+b2-4a-4=0{a2+b2+4a-4=0

⇒ Tập hợp các số phức z là đường tròn \[\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 4 = 0\;\] hoặc \[\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} + 4x - 4 = 0.\]

Từ giả thiết thứ hai ta có:

|z-1-i|=|z-3+3⁢i|⇔|a-1+b⁢i-i|=|a-3+b⁢i+3⁢i|⇔(a-1)2+(b-1)2=(a-3)2+(b+3)2⇔⁢ -2⁢a+1-2⁢b+1= -6⁢a+9+6⁢b+9⇔4⁢a-8⁢b-16=0⇔a-2⁢b-4=0

⇒ Tập hợp các số phức z là đường thẳng \[x - 2y - 4 = 0\left( d \right).\]

Vậy số phức thỏa mãn 2 giả thiết trên là số giao điểm của d với \[\left( {{C_1}} \right)\] và \[\left( d \right)\] với \[\left( {{C_2}} \right)\].

Dựa vào hình vẽ ta thấy có 3 giao điểm của d với \[\left( {{C_1}} \right)\] và \[\left( d \right)\] với \[\left( {{C_2}} \right)\]. Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.