Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ∣ z − ¯¯¯ z ∣ + ∣ z + ¯¯¯ z ∣ = ∣ z^2 ∣ và z^2 + z ¯¯¯ z là số thuần ảo?

Giải thích

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có \(\left| {z - \overline z } \right| + \left| {z + \overline z } \right| = \left| {{z^2}} \right| \Leftrightarrow \left| {a + bi - \left( {a - bi} \right)} \right| + \left| {a + bi + a - bi} \right| = |a + bi{|^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {2bi\left|  +  \right|2a} \right| = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

\({z^2} + z\overline z  = z\left( {z + \overline z } \right) = \left( {a + bi} \right)\left( {a + bi + a - bi} \right) = 2{a^2} + 2abi\) là số thuần ảo khi \(2{a^2} = 0\) hay \(a = 0\).

Thay \(a = 0\) vào (1) ta được \({b^2} = 2\left| b \right|\). Giải phương trình này thu được \(b = 0\) hoặc \(b =  \pm 2\).

Vậy có 3 số phức thỏa mãn ycbt là \(z = 0,z =  \pm 2i\).

 Chọn D