Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Giải bất phương trình mũ: \({a^x} \le b(a > 0,a \ne 1,b > 0)\)

Trường hợp 1: \(a > 1\)

\({a^x} \le b \Leftrightarrow x \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).

Trường hợp 2: \(0 < a < 1\)

\({a^x} \le b \Leftrightarrow x \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).

Giải bất phương trình logarit: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x \le b(a > 0,a \ne 1)\)

ĐКХĐ: \(x > 0\)

Trường hợp 1: \(a > 1\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x \le b \Leftrightarrow 0 < x \le {a^b}\).

Trường hợp 2: \(0 < a < 1\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x \le b \Leftrightarrow x \ge {a^b}\).

Lời giải

ĐКХĐ: \(x > - 25\).

Ta có: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)

Trường hợp 1: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}} \Leftrightarrow {x^2} \ge 2x \Leftrightarrow x \ge 2 \vee x \le 0}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0 \Leftrightarrow x + 25 \le {3^3} \Leftrightarrow x \le 2}\end{array} \Leftrightarrow x = 2 \vee x \le 0} \right.\).

Mà \(x > - 25\) nên \(x = 2 \vee - 25 < x \le 0\).

Trường hợp 2: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2}}} \le {3^{2x}} \Leftrightarrow {x^2} \le 2x \Leftrightarrow 0 \le x \le 2}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x + 25 \ge {3^3} \Leftrightarrow x \ge 2}\end{array} \Leftrightarrow x = 2} \right.\).

Tóm lại, có 26 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho.