Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log 3(x + y) = log 4(x^2 + y^2)

Phương pháp giải

Đặt ẩn và giải phương trình.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\log _3}(x + y) = {\log _4}({x^2} + {y^2}) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = {3^t},}\\{{x^2} + {y^2} = {4^t}.}\end{array}} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\({9^t} = {(x + y)^2} \le 2({x^2} + {y^2}) = 2 \cdot {4^t} \Rightarrow {\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} \le 2 \Rightarrow t \le \frac{{\log 2}}{{\log \frac{9}{4}}}.\)

Khi đó: \({x^2} + {y^2} = {4^t} \Rightarrow {x^2} \le {4^t} \le {4^{{{\log }_2}2}} \approx 1,89 \Rightarrow x \in \{ - 1,0,1\} .\)

Trường hợp 1: \(x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t},}\\{{y^2} = {4^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0,}\\{y = 1.}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 2: \(x = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} - 1,}\\{{y^2} = {4^t} - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0,}\\{y = 0.}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 3: \(x = - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} + 1,}\\{{y^2} + 1 = {4^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0,}\\{y = {3^t} + 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 5{\rm{ m\^a u thu?n v?i }}{x^2} + {y^2} \le 4.\)

Vậy có hai giá trị\(x \in \{ 0,1\} \).