Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 3x^2 + y^2 = 4x + y?

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Lấy lôgarit và xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết.

Ta có \({3^{{x^2} + {y^2}}} = {4^{x + y}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\log _3}{4^{x + y}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = (x + y){\log _3}4\)\( \Leftrightarrow {y^2} - y \cdot {\log _3}4 + {x^2} - x \cdot {\log _3}4 = 0\) (*).

Ta xem phương trình (*) là phương trình ẩn y, tham số x.

Phương trình (*) có nghiệm thực y \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {( - {\log _3}4)^2} - 4({x^2} - x{\log _3}4) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{(1 - \sqrt 2 ){{\log }_3}4}}{2} \le x \le \frac{{(1 + \sqrt 2 ){{\log }_3}4}}{2}\).

Do đó có hai số nguyên \(x = 0\) và \(x = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.