Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thoả mãn biểu thức 2^(x^2+y^2)=2⋅2^(y-x)

Ta có : \({2}^{{x}^{2}+{y}^{2}}={2.2}^{y-x}⇔{2}^{{x}^{2}+{y}^{2}}={2}^{y-x+1}\)

\(⇔{x}^{2}+{y}^{2}=y-x+1\)

\(⇔{y}^{2}-y=-{x}^{2}-x+1(*)\)

Yêu cầu bài toán \(⇔\) tìm \(x∈Z\) đề phương trình (*) có nghiệm y dương.

Xét hàm số \(f(y)={y}^{2}-y\) trên \((0,+∞)\)

\({f}^{'}(y)=2y-1,{f}^{'}(y)=0⇔y=\frac{1}{2}\).

BBT :

Dựa vào BBT ta có :

Phương trình (*) có nghiệm y dương\(⇔-{x}^{2}-x+1≥-\frac{1}{4}⇔\frac{-1-\sqrt[]{6}}{2}≤x≤\frac{-1+\sqrt[]{6}}{2}\)

Vì \(x∈Z\) nên \(x∈\{-1;0\}\)

Vậy có 2 số nguyên x để phương trình (*) có nghiệm thực y dương.

Đáp án đúng là B

Mở rộng:

Hàm đặc trưng: Biến đổi PT mũ về \({x}^{2}+{y}^{2}= y-x+1.\) Đưa về dạng

\(f(y) = g(x)\). Tìm điều kiện để \(g(x)\) thuộc miền giá trị của \(f(y)\)