Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thỏa mãn biểu thức {2^{{x^2} + {y^2} = {2.2^{y - x}?

37/235

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực dương $y$ thỏa mãn biểu thức ${2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y - x}}$?

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng

Lời giải

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $ tìm $x \in \mathbb{Z}$ để phương trình:

${2^{{x^2} + {y^2}}} = {2.2^{y - x}} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2}}} = {2^{y - x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = y - x + 1 \Leftrightarrow {y^2} - y = - {x^2} - x + 1$ (*) có nghiệm $y$ dương

Xét hàm số: $f\left( y \right) = {y^2} - y$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ có $f'\left( y \right) = 2y - 1,f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}$

Bảng biến thiên:

$Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thỏa mãn biểu thức {2^{{x^2} + {y^2} = {2.2^{y - x}? (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình $\left( {\rm{*}} \right)$ có nghiệm $y$ dương

$ \Leftrightarrow - {x^2} - x + 1 \ge \frac{{ - 1}}{4} \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2} \le x \le \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}$

Vì $x \in \mathbb{Z}$, nên $x \in \left\{ { - 1;0} \right\}$