Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn (-20;20)

114/120

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\) nghịch trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

11.

17.

12.

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

\(g'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right) = - {(1 - x)^2}\left( { - x - 1} \right)\left[ {{{(1 - x)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]\)và tìm m để \(g'\left( x \right) < 0\) trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Lời giải

Ta có:

\(g'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right) = - {(1 - x)^2}\left( { - x - 1} \right)\left[ {{{(1 - x)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]\)

\( = {(x - 1)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right)\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x < - 1\left( {\rm{*}} \right)\), (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm).

Với \(x < - 1\) thì \({(x - 1)^2} > 0\) và \(x + 1 < 0\) nên

\(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 5 \ge 0,\forall x < - 1\)

\( \Leftrightarrow m \ge - {x^2} - 4x + 5,\forall x < - 1\)

Xét hàm số \(y = - {x^2} - 4x + 5\) trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), ta có bảng biến thiên:

Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn (-20;20) (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên suy ra \(m \ge 9\).

Kết hợp với \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) và \(m\) nguyên nên\(m \in \left\{ {9;10;11; \ldots ;20} \right\}\).

Vậy có 12 số nguyên \(m\) thỏa mãn đề bài.