Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [ 0 ; 2025 ] để hàm số g ( x ) = f ( x^3 − 3x^2 + m ) đồng biến trên khoảng ( 2 ; + ∞ ) (nhập đáp án vào ô trống)?

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 6x} \right)f'\left( {{x^3} - 3x + m} \right)\).

Với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) ta có \(3{x^2} - 6x > 0\) nên để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Dựa vào đồ thị ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;1\left]  \cup  \right[3; + \infty } \right)\).

Do đó: \(f'\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 3{x^2} + m \le 1,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\\{{x^3} - 3{x^2} + m \ge 3,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le  - {x^3} + 3{x^2} + 1,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\\{m \ge  - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy  nên trường hợp \(m \le  - {x^3} + 3{x^2} + 1,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) không xảy ra.

Trường hợp: \(m \ge  - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có hàm số \(h\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} + 3\) liên tục trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\)

và \(h'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x < 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) nên \(h\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) suy ra .

Do đó .

Vậy có 2019 số nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(2019\).