Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình (log2 (x - m)(x^2 - mx) < 0 có ít nhất 1 nghiệm nguyên và có không quá 100 nghiệm nguyên?

54/235

Có bao nhiêu số nguyên $m$ sao cho bất phương trình \[({\log _2}x - m)({x^2} - mx) < 0\] có ít nhất $1$ nghiệm nguyên và có không quá $100$ nghiệm nguyên?

$4$.

$5$.

$6$.

Vô số.

Giải thích

Phương pháp giải:

Xét dấu và giải bất phương trình theo tham số $m$.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \[x > 0.\]

Xét phương trình: \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}x = m \Rightarrow x = {2^m},}\\{{x^2} - mx = 0 \Rightarrow x = 0{\rm{ ho?c }}x = m.}\end{array}} \right.\]

Do $x > 0$ nên xét các nghiệm $x = {2^m}$ và $x = m$.

Xét hàm $g(x) = {2^x} - x$.

Ta có: \[g'(x) = {2^x}\ln 2 - 1.\]

Phương trình $g'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất

$x = - {\log _2}(\ln 2) \approx 0,91$,

và $g(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Suy ra: \[{2^m} > m,\;\forall m \in \mathbb{R}.\]

Xét các trường hợp của $m$ và đếm số nghiệm nguyên của bất phương trình, ta thu được có đúng $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: B.