Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y đều có nhưng không quá 5 số nguyên x thỏa mãn

Đáp án đúng là "992"

Phương pháp giải

Giả và đánh giá bất phương trình mũ

Lời giải

Điều kiện xác định: \(11 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 11\).

Theo giả thiết ta có: \(\left( {{2^x} - y} \right)\left( {{2^x} - {2^{10}}y} \right)\sqrt {11 - x}  < 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {11 - x}  > 0}\\{\left( {{2^x} - y} \right)\left( {{2^x} - {2^{10}}y} \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 11}\\{y < {2^x} < {2^{10}}y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 11}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y < x < 10 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) (do \(y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).

Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi \(5 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y < 10 \Leftrightarrow {2^5} \le y < {2^{10}}\).

Do \(y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), nên số giá trị nguyên dương \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là 992.