Có bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 100 thoả mãn phương trình sau có nghiệm? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "19"

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a.{\rm{sin}}x + b.{\rm{cos}}x = c\) có nghiệm.

Lời giải

Điều kiện để phương trình có nghĩa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1}\\{m > 0}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{m}{{81}} \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow m \ge 81} \right.\).

Khi đó, để phương trình đã cho có nghiệm thì:

\({\left( {\frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_m}3}}} \right)^2} + {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}m} \right)^2} \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{m}{{81}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m} \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m} \right)^2} \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m - 4\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m} \right)^2} - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}m + 4 \ge 0\)

Dễ thấy (1) luôn đúng với điều kiện \(m \ge 81\), suy ra để phương trình có nghiệm thì \(m \ge 81\)

Vậy có \(99 - 81 + 1 = 19\) số nguyên dương \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.