Có bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 100 thoả mãn phương trình

24/235

Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\) nhỏ hơn \(100\) thoả mãn phương trình \(\frac{1}{{{{\log }_m}3}} \cdot \cos 3x + {\log _9}m \cdot \sin 3x = \sqrt {{{\log }_3}\frac{m}{{81}}} \) có nghiệm? (nhập đáp án vào ô trống.)

Đáp án: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giải chi tiết:

Điều kiện để phương trình có nghĩa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1}\\{m > 0}\\{{{\log }_3}\frac{m}{{81}} \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 81.\)

Khi đó, để phương trình đã cho có nghiệm thì:

\({\left( {\frac{1}{{{{\log }_m}3}}} \right)^2} + {({\log _9}m)^2} \ge {\log _3}\frac{m}{{81}}\)

\( \Leftrightarrow {({\log _3}m)^2} + \frac{1}{4}{({\log _3}m)^2} \ge {\log _3}m - 4\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} - {\log _3}m + 4 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {{{\log }_3}m - \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{19}}{5} \ge 0\quad (1)\)

Dễ thấy \(\left( 1 \right)\) luôn đúng với điều kiện \(m \ge 81,\)suy ra để phương trình có nghiệm thì \(m \ge 81.\)

Vậy có \(99 - 81 + 1 = 19\) số nguyên dương m để phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án cần điền là: \(19.\)