Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn ( 5^b − 1 ) ( a ⋅ 2^b − 5 ) < 0

Ta có \(\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a \cdot {2^b} - 5} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 0}\\{b > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn bất phương trình đã cho, thì \( - 3 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right) <  - 2 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le \frac{5}{a} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow 20 < a \le 40\).

Mà \(a\) là số nguyên dương nên có 20 giá trị của \(a\) thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b > 0}\\{b < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn bất phương trình đã cho, thì \(2 < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right) \le 3 \Leftrightarrow 4 \le \frac{5}{a} < 8 \Leftrightarrow \frac{5}{8} < a \le \frac{5}{4}\).

Mà \(a\) là số nguyên dương nên có 1 giá trị của \(a\) thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 21 giá trị của a thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(21\).