Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + 3x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + 3\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' = {a^2} - 3 \cdot 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le a \le 3\).

Vậy có 7 số nguyên \(a\) thỏa mãn yêu cầu. Chọn D.