Có bao nhiêu giá trị thực của x để biểu thức P = (6 căn bậc hai của x + 12)/(căn bậc hai của x + 1) có giá trị nguyên?

Đáp án đúng là: C

Với \(x \ge 0,\) ta có \(P = \frac{{6\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  + 1}} = \frac{{3\left( {2\sqrt x  + 1} \right) - 2}}{{2\sqrt x  + 1}} = 3 - \frac{2}{{2\sqrt x  + 1}}\).

Vì điều kiện \(x \ge 0\) nên \(2\sqrt x  + 1 \ge 1\). 

Khi đó \(0 < \frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} \le 2\) nên \[1 \le 3 - \frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} < 3\] hay \[1 \le P < 3\]

Vì \(P\) có giá trị nguyên nên \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

Nếu \(P = 1\), ta có \[\frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} = 2\] suy ra \(2\sqrt x  + 1 = 1\), dẫn đến \(2\sqrt x  = 0\) nên \(x = 0\) (thỏa mãn).

Nếu \(P = 2\), ta có \[\frac{2}{{2\sqrt x  + 1}} = 1\] suy ra \(2\sqrt x  + 1 = 2\), dẫn đến \(2\sqrt x  = 1\), vậy \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy có đúng 2 giá trị thực của \(x\) để biểu thức \(P\) đạt giá trị nguyên.