Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \((x - 1)(x - 3)(x - m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\\{x = m}\end{array}} \right.\).

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì: \(m \notin \{ 1;3\} \).

Trường hợp 1: \(m < 1 < 3\).

Để 3 số m ; 1; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: \(m.3 = {1^2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\)

Cấp số nhân tăng đó là: \(\frac{1}{3};1;3\)

Trường hợp 2: \(1 < m < 3\).

Để 3 số 1; m; 3 lập thành cấp số nhân tăng thì: \(1.3 = {m^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \sqrt 3 }\\{m =  - \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

Đối chiếu điều kiện \(1 < m < 3\) ta chọn \(m = \sqrt 3 \).

Cấp số nhân tăng đó là: \(1;\sqrt 3 ;3\)

Trường hợp 3 : \(1 < 3 < m\).

Để 3 số 1; 3; m lập thành cấp số nhân tăng thì: \(1.m = {3^2} \Leftrightarrow m = 9\)

Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3; 9

Vậy \(m \in \left\{ {\frac{1}{3};\sqrt 3 ;9} \right\}\) thì phương trình \((x - 1)(x - 3)(x - m) = 0\) có 3 nghiệm phân lập thành cấp số nhân tăng.