Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mmđể hàm số y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\) đồng biến trên khoảng

9/234

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = {x^2} + 8\ln 2x - mx$ đồng biến trên khoảng $\left( {0\,;\, + \infty } \right)?$

Giải thích

Tập xác định của hàm số là: $D = \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)$.

Ta có $y' = 2x + \frac{8}{x} - m$.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)$ khi $y' \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow m \le 2x + \frac{8}{x}\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)$.

Đặt $f\left( x \right) = 2x + \frac{8}{x}$, có $f'\left( x \right) = 2 - \frac{8}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{x^2}}},f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do $x \in \left( {0\,;\,\, + \infty } \right)$).

Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)$ như sau:

$Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mmđể hàm số y = {x^2} + 8\ln 2x - mx\) đồng biến trên khoảng (ảnh 1)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)$ khi $m \le 8$.

Mà $m$ là số nguyên dương nên \[m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}\].

Vậy có 8 giá trị của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.