Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình

Đáp án đúng là "121"

Phương pháp giải

Biến đổi bất phương trình tương đương, tìm điều kiện để tập nghiệm khác rỗng.

Lời giải

Ta có \(m\) nguyên dương nên \(2m \ge 2 \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2m} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( 2 \right) \approx 0,63 > {3^{ - \frac{1}{2}}} \approx 0,57\).

Khi đó bất phương trình:

\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} - {3^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\left( {{3^x} - 2m} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {3^{ - \frac{1}{2}}} < {3^x} < 2m \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < x < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2m} \right)\)

Để tập nghiệm của bất phương trình đã cho khác rỗng và chứa không quá 5 số nguyên thì \(0 < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2m} \right) < 5 \Leftrightarrow 1 < 2m < {3^5} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 121,5\)

Suy ra \(m \in \left\{ {1;2; \ldots ;121} \right\}\)

Vậy có 121 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.