Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m

Ta có: .

Theo giả thiết: $\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 \le 0,\,\,\,\forall x \in \,\,\,(*)$.

Trường hợp 1: . Thay vào (*): $1 - 3 \le 0,\forall x \in $ (đúng).

Suy ra thỏa mãn.

Trường hợp 2: .

$\begin{array}{l}
(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta ' \le 0
\end{array}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
m - 1 < 0\\
{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0
\end{array}
\end{array}} \right.} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
m < 1\\
{m^2} - 2m + 1 - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \le 0
\end{array}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
m < 1\\
2m - 2 \le 0
\end{array}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
m < 1\\
m \le 1
\end{array}
\end{array} \Leftrightarrow m < 1.} \right.} \right.} \right.
\end{array}$

Hợp hai kết quả trên, ta được . Mà nên .

Đáp án: 1.