Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình (3x + 1 - căn bậc hai 3)(3x - 2m) < 0 khác rỗng và chứa không quá 5 số nguyên.

Đáp án đúng là: \(121.\)

Giải chi tiết:

Nhân tử thứ nhất: \({3^{x + 1}} - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow {3^{x + 1}} = {3^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow x + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Nhân tử thứ hai: \({3^x} - 2m = 0 \Leftrightarrow {3^x} = 2m \Leftrightarrow x = {\log _3}\left( {2m} \right)\)

Ta có \(m\) nguyên dương nên

\(2m \ge 2 \Rightarrow {\log _3}(2m) \ge {\log _3}(2) \approx 0,63 > {3^{ - \frac{1}{2}}} \approx 0,57\).

Khi đó bất phương trình:

\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} - {3^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\left( {{3^x} - 2m} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < {\log _3}(2m)\)

Để tập nghiệm của bất phương trình đã cho khác rỗng và chứa không quá \(5\) số nguyên thì

\(0 < {\log _3}(2m) \le 5 \Leftrightarrow 1 < 2m \le {3^5} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m \le 121,5\)

Suy ra \(m \in \{ 1;2; \ldots ;121\} \)

Vậy có \(121\) giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần điền là: \(121.\)