Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình x^4 − 2mx^2 + m + 2 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt?

Đáp án đúng là: B

Đặt \(t = {x^2}\) (\(t \ge 0\)), phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + m + 2 = 0\) (1).

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thực phân biệt, phương trình (1) phải có duy nhất 1 nghiệm dương. Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi tích hai nghiệm âm, tức là \(P = m + 2 < 0\), dẫn đến \(m <  - 2\).

Vì \(m\) nguyên dương nên trường hợp này không có giá trị nào.

Trường hợp 2: Phương trình (1) có nghiệm kép dương.

Điều kiện là \(\Delta \prime  = {m^2} - \left( {m + 2} \right) = 0\) và nghiệm kép \(t = m > 0\).

Giải phương trình:

\(\Delta \prime  = {m^2} - \left( {m + 2} \right) = 0\)

\({m^2} - m - 2 = 0\)

\(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\)

\(m = 2\) hoặc \(m =  - 1\).

Vì yêu cầu \(m\) nguyên dương nên ta nhận \(m = 2\). (Khi đó \(t = 2 > 0\), cho ta đúng hai nghiệm \(x = \sqrt 2 \) và \(x =  - \sqrt 2 \)).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn.