Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình và biện luận theo m

Giải chi tiết

Ta có: \({m^2}\ln \left( {\frac{x}{e}} \right) = (2 - m)\ln x - 4\)

\( \Leftrightarrow {m^2}(\ln x - 1) = (2 - m)\ln x - 4\)

\( \Leftrightarrow ({m^2} + m - 2)\ln x = {m^2} - 4{\rm{ (}}1)\)

Với \({m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 1{\mkern 1mu} (m > 0)\) thì (1)

\( \Leftrightarrow 0 \cdot \ln x = - 3\quad ({\rm{v\^o l\'y }})\)

Suy ra loại m = 1.

Với \(m \ne 1\)thì (1)

\( \Leftrightarrow \ln x = \frac{{m - 2}}{{m - 1}}.\)

Hàm số \(y = \ln x\)đồng biến trên\(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\), suy ra \(\ln x \in [ - 1;0].\)

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\)khi:

\( - 1 \le \frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \ge - 1}\\{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{3}{2}}\\{1 < m \le 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{3}{2} \le m \le 2\)

Suy ra m = 2.

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B.