Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số y= {8}{3}{x^3} + 2\ln x - mx\]

Giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\).

Ta có: \[y' = 8{x^2} + \frac{2}{x} - m.\]

Yêu cầu bài toán:

          \[y' \ge 0\quad \forall x \in (0;1) \Leftrightarrow 8{x^2} + \frac{2}{x} \ge m\quad \forall x \in (0;1).\]

Xét hàm: \[h(x) = 8{x^2} + \frac{2}{x},\quad x \in (0;1).\]

Ta có: \[h'(x) = 16x - \frac{2}{{{x^2}}}.\]

Giải \(h'(x) = 0\): \[16x - \frac{2}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow 16{x^3} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}.\]

Giá trị nhỏ nhất của \(h(x)\) trên \((0;1)\) là:

   \[h\left( {\frac{1}{2}} \right) = 8 \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{{\frac{1}{2}}} = 2 + 4 = 6.\]

Do đó:

                                                                               \[m \le 6.\]

Vì \(m\) là số nguyên dương nên:

                                                                   \[m \in \{ 1,2,3,4,5,6\} .\]

Vậy có tất cả \(6\) giá trị thỏa mãn.

Chọn B.