Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để f ( x ) = ( m − 1 ) x 2 + 2 ( m − 1 ) x + m − 3 không dương với mọi x ∈ R .

Lời giải

Ta có: \(a = m - 1,b = 2\left( {m - 1} \right),b' = m - 1,c = m - 3\).

Theo giả thiết: \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 \le 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\,(*)\).

Trường hợp 1: \(a = m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\). Thay vào (*): \(1 - 3 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng).

Suy ra \(m = 1\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a = m - 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne 1\).

\(\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m - 1 < 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\{m^2} - 2m + 1 - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\2m - 2 \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 1\\m \le 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 1.} \right.} \right.} \right.\end{array}\)

Hợp hai kết quả trên, ta được \(m \le 1\). Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(m = 1\).

Đáp án: 1.

Ta Có: \ (a = m - 1, b = 2 \ trái ({m - 1} \ right), b '= m - 1, c = m - 3 \).