Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng hàm số giải bất phương trình

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Đặt \(t = {3^{{x^2} - 2}},\left( {t \ge 1} \right)\), khi đó bất phương trình trở thành: \({t^2} - 9\left( {m - 1} \right)t - m + 4 \ge 0\) (*)

Với \(t \ge 1\) thì \({t^2} + 9t + 4 - m\left( {9t + 1} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{t^2} + 9t + 4}}{{9t + 1}} \ge m\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 9t + 4}}{{9t + 1}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\(f'\left( t \right) = \frac{{9{t^2} + 2t - 27}}{{{{(9t + 1)}^2}}}\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{ - 2\sqrt {61} - 1}}{9} \notin \left[ {1; + \infty } \right)}\\{t = \frac{{2\sqrt {61} - 1}}{9} \in \left[ {1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình \(f\left( t \right) \ge m\) thì \(m \le \frac{{4\sqrt {61} + 79}}{{81}}\)

Mà \(m\) nguyên dương nên \( \Rightarrow m = 1\)