Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực

Đáp án C

Đặt \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{16}}\frac{{5b - a}}{c} = t \Rightarrow {\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = {9^t}}\\{b = {{12}^t}}\\{\frac{{5b - a}}{c} = {{16}^t}}\end{array}} \right.\)

(Vì \(a > 1 \Rightarrow {9^t} > 1 \Leftrightarrow t > 0\) ).

Khi đó ta có:

\({5.12^t} - {9^t} = c{.16^t} \Leftrightarrow {16^t}.c - {5.12^t} + {9^t} = 0\)

\( \Leftrightarrow c.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2t}} - 5.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^t} + 1 = 0\) (*)

Đặt \(x = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^t}\). Vì \(t > 0 \Rightarrow x > 1\).

Khi đó phương trình (*) trở thành: \(c{x^2} - 5x + 1 = 0\) (2*)

\( \Rightarrow \) Để tồn tại hai số thực \(a > 1;b > 1\) thì phương trình (2*) có nghiệm lớn hơn \(x > 1\).

Ta có: \({\rm{\Delta }} = 25 - 4c\).

TH1: \({\rm{\Delta }} = 0 \Leftrightarrow c = \frac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có nghiệm kép \(x = \frac{5}{{2c}}\).

\( \Rightarrow x > 1 \Leftrightarrow \frac{5}{{2c}} = \frac{2}{5} < 1\) (loại).

TH2: \({\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow c < \frac{{25}}{4}\), khi đó phương trình (2*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{5}{c}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{1}{c}}\end{array}} \right.\)

Để (2*) có 2 nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 1}\\{{x_2} > 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} > 2}\\{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} > 2}\\{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{5}{c} > 2}\\{\frac{1}{c} - \frac{5}{c} + 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c < \frac{5}{2}}\\{\frac{4}{c} < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c < \frac{5}{2}}\\{c > 4}\end{array} = > } \right.} \right.} \right.} \right.\) vô nghiệm

Không tồn tại c thỏa mãn yêu cầu bài toán