Có bao nhiêu giá trị nguyên dương bé hơn 2024 của tham số m sao cho hàm số y = (2x^2 + 2x − 1 − 5m)/(x − m) nghịch biến trên khoảng (1; 5)?

12/40

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương bé hơn 2024 của tham số $m$ sao cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 2x - 1 - 5m}}{{x - m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;5} \right)$?

$2021$.

$2018$.

$2020$.

$2019$.

Giải thích

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\].

Ta có $y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;5} \right)$

$ \Leftrightarrow y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right)$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4mx + 3m + 1 \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right)\\m \notin \left( {1;5} \right)\end{array} \right.$

Có $2{x^2} - 4mx + 3m + 1 \le 0$ $ \Leftrightarrow m \ge \frac{{1 + 2{x^2}}}{{4x - 3}}$\[ \Leftrightarrow m \ge g\left( x \right)\].

Xét $g\left( x \right) = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{4x - 3}}$.

Có $g'\left( x \right) = \frac{{8{x^2} - 12x - 4}}{{{{\left( {3 - 4x} \right)}^2}}}$; $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}$ vì $x \in \left( {1;5} \right)$.

Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$

$Ta có \(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( (ảnh 1)$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5$

Do nguyên dương bé hơn 2024 nên $5 \le m \le 2023$.

Vậy có tất cả 2019 giá trị. Chọn D.