Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình (x^4-x^2)/(x^2 + 5x + 6) < 0?

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình \[\frac{{{x^4}-{x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\] \[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}\left( {{x^2}-1} \right)}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\,\] (*)

Vì x² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ nên ta có:

\[\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\\frac{{{x^2}-1}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( x \right) = \frac{{{x^2}-1}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\end{array} \right.\]

Ta có: x² – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = –1

x² + 5x + 6 = 0 ⇔ x = –2 hoặc x = –3.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (–3; –2) ∪ [–1; 1].

Các giá trị nguyên của x thỏa mãn là: x ∈ {–1; 0; 1}.

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm.