Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  sao cho ứng với mỗi m, hàm số

Đáp án đúng là "20"

Phương pháp giải

Điều kiện đơn điệu trên khoảng của hàm phân thức

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{m}{2}} \right\}\)

Xét hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - m + 5}}{{2x - m}}\)

\(y' = \frac{{ - 2{x^2} + 2mx - 10}}{{{{(2x - m)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2{x^2} + 2mx - 10 \ge 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)}\\{\frac{m}{2} \notin \left( {1;3} \right)}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5}}{x}\) trên \(\left( {1;3} \right)\)

\(y' = \frac{{ - \left( {3{x^2} + 5} \right)}}{{{x^2}}} < 0,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên R.

\( \Rightarrow m \ge 6\)

Kết hợp với các điều kiện \(m \in \left[ {6;25} \right] \Rightarrow \) có 20 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán