Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10]  để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;3) (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Sử dụng định lý mở rộng về quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\).

Lời giải

TXD: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + 1\).

\(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m\)

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m \le 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m \le 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)\) (*)

\( \Leftrightarrow {x^2} - mx - x + m \le 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow m\left( {1 - x} \right) \le x - {x^2},\forall x \in \left( {1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge \frac{{x - {x^2}}}{{1 - x}},\forall x \in \left( {1;3} \right)\) (do \(x > 1 \Rightarrow 1 - x < 0\))

\( \Leftrightarrow m \ge x,\forall x \in \left( {1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge 3\)

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) nên có 8 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán