Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 0. (nhập kết quả vào ô trống)

Đáp án đúng là "10"

Phương pháp giải

Tìm GTNN-GTLN của hàm số lượng giác.

Lời giải

Ta có \({\rm{cos}}x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y = \frac{{m{\rm{sin}}x + 2}}{{{\rm{cos}}x + 3}} \Leftrightarrow m{\rm{sin}}x - y{\rm{cos}}x = 3y - 2\).

Do phương trình có nghiệm nên

\({m^2} + {y^2} \ge {(3y - 2)^2} \Leftrightarrow 8{y^2} - 12y + 4 - {m^2} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{6 - \sqrt {{m^2} + 4} }}{8} \le y \le \frac{{6 + \sqrt {{m^2} + 4} }}{8}\)

Vậy GTNN của \(y\) bằng \(\frac{{6 - \sqrt {{m^2} + 4} }}{8}\)

Theo yêu cầu đề bài ta có:

\(\frac{{6 - \sqrt {{m^2} + 4} }}{8} < 0 \Leftrightarrow 6 - \sqrt {{m^2} + 4}  < 0 \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 4}  > 6 \Leftrightarrow {m^2} > 32 \Rightarrow \left| m \right| > 4\sqrt 2 \)

Mà ta cần tìm \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) nên \(m \in \left\{ { \pm 6; \pm 7; \pm 8; \pm 9; \pm 10} \right\}\)

Vậy có 10 giá trị \(m\) thỏa mãn