Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit.

Lời giải

Điều kiện: \(x > 0\).

Ta có \({\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2}} \right) - m - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{log}}_2^2x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - m = 0\)

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x \in \left[ { - 1;4} \right]\), phương trình trở thành \( - {t^2} + 2t = m\) (*)

Khảo sát hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^2} + 2t\), ta có bảng biến thiên như sau:

​

Vậy \(m \in \left\{ { - 1} \right\} \cup \left( {3;8} \right]\). Như vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn.