Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log 2/2x - (2m + 5)log 2 x + m^2 + 5m + 4 < 0 đúng với mọi x thuộc [2;4]

Đặt \(t = {\log _2}x \in [1,2].\)

BPT : \({t^2} - (2m + 5)t + {m^2} + 5m + 4 \le 0.\)

Nhập casio, thay m=100 vào phương trình bậc 2 và bấm:

\([\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 104}\\{x = 101}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m + 4}\\{x = m + 1}\end{array}} \right.\). Do tam thức < 0 và a > 1 nên ta có:

\(\begin{array}{l}m + 1 \le t \le m + 4n\\ \Leftrightarrow m + 1 \le 1 < 2 \le m + 4\\ \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0\\ \Rightarrow m \in \{ - 2, - 1,0\} .\end{array}\)

Vậy có 3 giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần điền là: 3