Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [ - 10;10] sao cho đồ thị

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, dựa vào hình dáng đồ thị nhận xét.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} = 3mx - {m^2} \Leftrightarrow {x^3} - 3mx + {m^2} = 0\quad (1)\)

Yêu cầu toán tương đương với phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

Xét hàm số: \(f(x) = {x^3} - 3mx + {m^2}\)có đồ thị (C).

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số (C) có hai cực trị nằm về hai phía so với trục hoành.

Ta có:

\(f'(x) = 3{x^2} - 3m,\quad f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m\)

Để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía so với trục hoành thì:

\({x^2} = m \Rightarrow x = \pm \sqrt m \)

\(x = \sqrt m \Rightarrow y = - 2m\sqrt m + {m^2}\)

\(x = - \sqrt m \Rightarrow y = 2m\sqrt m + {m^2}\)

Kết hợp điều kiện ta được:

\(m \in (4;10],\;m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 5;6;7;8;9;10\} \)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát:\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có 3 nghiệm ⇔ đồ thị có 2 cực trị nằm khác phía trục hoành.
• Xem hình dáng, kiểm tra dấu cực trị.