Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [ - 10;10]

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm , dựa vào hình dáng đồ thị nhận xét

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm :

\({x^3} = 3mx - {m^2} \Leftrightarrow {x^3} - 3mx + {m^2} = 0\,\,(1)\)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Xét hàm số: \(f(x) = {x^3} - 3mx + {m^2}\) có đồ thị \((C)\). Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số \((C)\) phải có 2 cực trị nằm về hai phía của trục hoành

Ta có : \({f^\prime }(x) = 3{x^2} - 3m,{f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m\)

Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận nằm về 2 phía so với trục hoành thì

\(\begin{array}{l}{x^2} = m \Leftrightarrow x = \pm \sqrt m \\x = \sqrt m \Rightarrow y = - 2m\sqrt m + {m^2}\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = 2m\sqrt m + {m^2}\end{array}\)

Kết hợp các điều kiện ta được : \(m \in (4;10]\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 5;6;7;8;9;10\} \)