Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong [ - 20;20) để bất phương trình 2x - 5y + m >= 0 nghiệm đúng với mọi cặp số (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình (I).

Trả lời: 10

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tam giác \(ABC\) với \(A\left( {4;1} \right),B\left( {8;3} \right),C\left( {2;3} \right)\).

Ta có \(2x - 5y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2x + 5y\).

Đặt \(F =  - 2x + 5y\).

Tính giá trị của \(F =  - 2x + 5y\) tại các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh tam giác \(ABC\), ta được:

\(F\left( {4;1} \right) =  - 2.4 + 5.1 =  - 3\); \(F\left( {8;3} \right) =  - 2.8 + 5.3 =  - 1\); \(F\left( {2;3} \right) =  - 2.2 + 5.3 = 11\).

Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \ge \max F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \ge 11\).

Vậy trong đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) thì \(m \in \left\{ {11;12;...;20} \right\}\) có 10 giá trị nguyên.