Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m thuộc [ - 100;100]\) để hàm số

99/235

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [ - 100;100]\) để hàm số

\(y = ({x^9} + 8{x^7} + 6{x^5} + m{x^3})({x^8} + 7{x^4}) + 3m\) nhận \({x_0} = 0\)làm điểm cực tiểu?

\(99.\)

\(100.\)

\(0.\)

\(101.\)

Giải thích

Giải chi tiết:

\(y = {x^{17}} + \cdots + 42{x^9} + 7m{x^7} + 3m,\)\(y' = 17{x^{16}} + \cdots + 378{x^8} + 49m{x^6}\)\( = {x^6}\left( {17{x^{10}} + \cdots + 378{x^2} + 49m} \right).\)

Đặt \(g(x) = 17{x^{10}} + \cdots + 378{x^2} + 49m.\)

Xét \(m < 0,\) có \(g\left( 0 \right) < 0,\) khi đó luôn tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\)chứa \({x_o} = 0\) sao cho \(g\left( x \right) < 0\)

\(\forall \in ( - \varepsilon ;\varepsilon ).\)Khi đó \(y' \le 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon ),\)tức là hàm số không đạt cực trị tại \({x_o} = 0.\)

Xét \(m > 0,\) có \(g\left( 0 \right) > 0,\) khi đó luôn tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\)chứa \({x_o} = 0\) sao cho \(g\left( x \right) > 0\)

\(\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon ).\) Khi đó \(y' \ge 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon ),\)tức là hàm số không đạt cực trị tại \({x_o} = 0.\)

Xét \(m = 0,\) có \(y' = {x^8}(17{x^8} + \cdots + 378).\)

Đặt \(h(x) = 17{x^8} + \cdots + 378.\)

Do \(h\left( 0 \right) > 0,\) khi đó luôn tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\)chứa \({x_o} = 0\) sao cho \(h\left( x \right) > 0\)

\(\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon ).\)Khi đó \(y' \ge 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon ),\)tức là hàm số không đạt cực trị tại \({x_o} = 0.\)

Vậy trong cả ba trường hợp, ta thấy không tồn tại giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C