Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m thuộc [ - 100;100]\) để hàm số

Giải chi tiết:

Ta có:

   \[y = {x^{17}} + \cdots + 42{x^9} + 7m{x^7} + 3mx,y' = 17{x^{16}} + \cdots + 378{x^8} + 49m{x^6} = {x^6}(17{x^{10}} + \cdots + 378{x^2} + 49m).\]

Đặt:

                                 \[g(x) = 17{x^{10}} + \cdots + 378{x^2} + 49m.\]

Trường hợp 1: \(m < 0\).

Khi đó \(g(0) < 0\), nên tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\) chứa \({x_0} = 0\)

sao cho \(g(x) < 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon )\).

Suy ra \(y' \le 0\) trong \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\), nên hàm số không đạt cực tiểu tại \({x_0} = 0\).

Trường hợp 2: \(m > 0\).

Khi đó \(g(0) > 0\), nên tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\) chứa \({x_0} = 0\)

sao cho \(g(x) > 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon )\).

Suy ra \(y' \ge 0\) trong \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\), nên hàm số không đạt cực tiểu tại \({x_0} = 0\).

Trường hợp 3: \(m = 0\).

Khi đó:

                                         \[y' = {x^8}(17{x^8} + \cdots + 378).\]

Đặt:

                                             \[h(x) = 17{x^8} + \cdots + 378.\]

Ta có \(h(0) > 0\), nên tồn tại một lân cận \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\) chứa \({x_0} = 0\)

sao cho \(h(x) > 0,\;\forall x \in ( - \varepsilon ;\varepsilon )\).

Suy ra \(y' \ge 0\) trong \(( - \varepsilon ;\varepsilon )\), nên hàm số cũng không đạt cực tiểu tại \({x_0} = 0\).

Từ ba trường hợp trên, suy ra không tồn tại giá trị nào của \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy số giá trị nguyên của \(m\) cần tìm là 0.