Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-10;10] để bất phương trình sau:

87/97

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m [- 10; 10]$ để bất phương trình sau: ${(6 + 2 \sqrt{7})}^{x} + (2 - m) {(3 - \sqrt{7})}^{x} - (m + 1) 2^{x} \geq 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$

Đáp án: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là: 11

Giải chi tiết

Đáp số: 11

Ta có:
${(6 + 2\sqrt 7 )^x} + \left( {2 - m} \right){(3 - \sqrt 7 )^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0$$ \Leftrightarrow {2^x}{(3 + \sqrt 7 )^x} + \left( {2 - m} \right){(3 - \sqrt 7 )^x} > \left( {m + 1} \right){2^x}$$ \Leftrightarrow {(3 + \sqrt 7 )^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {\frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} > m + 1$Đặt $t = {(3 + \sqrt 7 )^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}$.
Bất phương trình đã cho trở thành:
$t + \left( {2 - m} \right) \cdot \frac{1}{t} > m + 1 \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}} > m$.
Xét hàm số $f\left( t \right) = \frac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$,
ta có $f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{(t + 1)}^2}}}$
$f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 3}\\{t = 0}\end{array}$.
Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì $m < 1$.
Suy ra trong đoạn $\left[ { - 10;10} \right]$ có tất cả 11 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: 11