Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình x^3 – 3x^2 + (2m – 2)x + m – 3 = 0 có ba nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn x1 < -1 < x2 < x3. Biết m thuộc [-10; 0].

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,2.

Điều kiện cần:

Đặt f(x) = x³ – 3x² + (2m – 2)x + m – 3, hàm số liên tục trên ℝ.

Giả sử phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm x₁, x₂, x₃ thỏa mãn x₁ < -1 < x₂ < x₃

Ta có: f(x) = (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃), suy ra f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂

Suy ra f(-1) > 0 $\iff$-m – 5 > 0 $\iff$ m < -5.

Điều kiện đủ: Với m < -5 ta có:

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \] nên tồn tại a < -1 sao cho f(a) < 0.

Mặt khác f(-1) =-m – 5 > 0. Suy ra f(a).f(-1) < 0

Do đó tồn tại x₁ $\in$ (a; -1) sao cho f(x₁) = 0.

+) f(0) = m – 3 < 0, f(-1) > 0. Suy ra f(0).f(-1) < 0

Do đó, tồn tại x₂ $\in$ (-1; 0) sao cho f(x₂) = 0.

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty \] nên tồn tại b > 0 sao cho f(b) > 0.

Mặt khác f(0) < 0. Suy ra f(0).f(b) < 0

Do đó, tồn tại x₃ $\in$ (0; b) sao cho f(x₃) = 0.

Vậy m < -5 để phương trình có nghiệm.

Do m $\in$ [-10; 0] và m $\in$ℤ nên m $\in$ {-10; -9; -8; -7; -6}.

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn.