Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m không lớn hơn 2025 để hàm số y = căn bậc hai mx^2 − 2mx + 5m + 2 có tập xác định là R?

Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

\(g\left( x \right) = m{x^2} - 2mx + 5m + 2 \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}\)

TH1: Với \(m = 0\) thì \(g\left( x \right) = 2 \ge 0,\quad \forall x \in \mathbb{R}\quad \left( {{\rm{th/m\~a n}}} \right)\)

TH2: Với \(m \ne 0\) thì \(g\left( x \right)\) là tam thức bậc hai. Để \(g\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\), điều kiện là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - m} \right)^2} - m\left( {5m + 2} \right) = {m^2} - 5{m^2} - 2m =  - 4{m^2} - 2m =  - 2m\left( {2m + 1} \right)\).

Vì \(m > 0\) nên \( - 2m < 0\) và \(2m + 1 > 0 \Rightarrow {\rm{\Delta '}} =  - 2m\left( {2m + 1} \right) < 0 \le 0\) (luôn đúng).

Do đó \(m > 0\) thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp ta được \(m \ge 0\).

Do \(m\) nguyên và \(m \le 2025\), các giá trị thỏa mãn là \(m \in \left\{ {0;1;2; \ldots ;2025} \right\}\).

Số giá trị nguyên là \(2025 - 0 + 1 = 2026\).

Đáp số: 2026.