Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^2 - 4 căn(x^2 + 1) - (m - 1) = 0 có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0; \sqrt {15} } \right)$?

10/10

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${x^2} - 4\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {m - 1} \right) = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0; \sqrt {15} } \right)$?

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{x^2}-4\sqrt {{x^2} + 1} -\left( {m-1} \right) = 0\] $ \Leftrightarrow {x^2} + 1-4\sqrt {{x^2} + 1} -m = 0$.

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1} $

Với x ∈ $\left( {0; \sqrt {15} } \right)$ thì t ∈ (1; 4)

Phương trình trở thành: t² - 4t - m = 0 ⇔ m = t² - 4t (*)

Đặt f(t) = t² - 4t với t ∈ (1; 4).

Xét hàm số f(t) trên ℝ, f(t) có a = 1 > 0 nên nghịch biến trên khoảng (-∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Ta có BBT:

$Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^2 - 4 căn(x^2 + 1) - (m - 1) = 0 có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0; \sqrt {15} } \right)$? (ảnh 1)$

Dựa vào BBT, suy ra phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0; \sqrt {15} } \right)$

⇔ Phương trình (*) có nghiệm thuộc khoảng t ∈ (1; 4) ⇔ -4 ≤ m ≤ 0

Vậy các giá trị nguyên m thỏa là m ∈ {-4; -3; -2; -1}.

Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (có lời giải)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^2 - 4 căn(x^2 + 1) - (m - 1) = 0 có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0; \sqrt {15} } \right)\)?