Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log^2 2 ( 2x ) − 2 log 2 ( x^2 ) + m − 1 = 0 có nghiệm, trong đó có đúng một nghiệm thuộc đoạn [ 1 2 ; 16 ]

32/50

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2}} \right) + m - 1 = 0\) có nghiệm, trong đó có đúng một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};16} \right]\) (nhập đáp án vào ô trống)?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Điều kiện: \(x > 0\).

Ta có \({\rm{log}}_2^2\left( {2x} \right) - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2}} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{log}}_2^2x - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + m = 0\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x \in \left[ { - 1;4} \right]\), phương trình trở thành \( - {t^2} + 2t = m\) (*)

Khảo sát hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} + 2t\), ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy \(m \in \left\{ 1 \right\} \cup \left( { - 8; - 3} \right]\). Như vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp án cần nhập là: \(6\).