Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình căn m+2căn m+2sinx= sinx có nghiệm thực?

Điều kiện sinx≥0.

Ta có m+2m+2sinx=sinx⇔m+2m+2sinx=sin2x.

⇔m+2sinx+2m+2sinx=sin2x+2sinx (1)

Xét hàm số  ft=t2+2t

f't=2t+2>0, ∀t≥0⇒ Hàm số  ft đồng biến trên 0;+∞.

Phương trình  1⇔fm+2sinx=fsinx⇔m+2sinx=sinx

 ⇔sin2x−2sinx=m

Đặt  sinx=t⇒t∈0;1

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình t2−2t=m có nghiệm trên 0;1.

Xét hàm số gt=t2−2t,  t∈0;1

Ta có  g't=2t−2; g't=0⇔t=1

Suy ra  max0;1gt=0; min0;1gt=−1

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  −1≤m≤0

Mà  m∈ℤ nên m=0; m=−1.

Chọn D.