Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^8+ (m-4)x^5-(m^2-16x^4+1 đạt cực tiểu tại điểm x=0 ?

Hướng dẫn giải

Ta có:y'=8x7+5m−4x4−4m2−16x3=x38x4+5m−4x−4m2−16=x3.gx

·       Với gx=8x4+5m−4x−4m2−16. Ta xét các trường hợp sau:

-        Nếu m2−16=0⇔m=±4.

+ Khi m=4 ta có y'=8x7⇒x=0 là điểm cực tiểu.

+ Khi m=−4 ta có y'=x48x3−40⇒x=0 không là điểm cực tiểu.

-        Nếu m2−16≠0⇔m≠±4⇒g0≠0.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0

 Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x=0

⇔limx→0−gx>0limx→0+gx>0⇔limx→0gx>0

⇔−4m2−16>0⇔m2−16<0⇔−4<m<4⇒m∈−3;−2;−1;0;1;2;3.

Tổng hợp các trường hợp ta có: m∈−3;−2;−1;0;1;2;3;4.

Vậy có tám giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn A.