Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^4 − 12x^2 + ( m − 2 ) x có ba điểm cực trị?

13/50

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = {x^4} - 12{x^2} + \left( {m - 2} \right)x$ có ba điểm cực trị?

$47.$

$44.$

$46.$

$45.$

Giải thích

Ta có:$y = {x^4} - 12{x^2} + \left( {m - 2} \right)x$$ \Rightarrow y' = 4{x^3} - 24x + m - 2$.

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $y' = 4{x^3} - 24x + m - 2 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

$ \Rightarrow m = - 4{x^3} + 24x + 2\left( {\rm{*}} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $g\left( x \right) = - 4{x^3} + 24x + 2$ ta có $g'\left( x \right) = - 12{x^2} + 24 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 $.

Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ như sau:

$Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = {x^4} - 12{x^2} + \left( {m - 2} \right)x$ có ba điểm cực trị? A. $47.$ B. $44.$ C. $46.$ D. $45.$ (ảnh 1)$

Để phương trình $\left( {\rm{*}} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt thì $ - 16\sqrt 2 + 2 < m < 16\sqrt 2 + 2$.

Mà $m$ là số nguyên $ \Rightarrow m \in \left\{ { - 20; - 19; \ldots ;23;24} \right\}$ nên có 45 giá trị $m$ thoả mãn. Chọn D.