Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (x − m^2)/(x + 8) có giá trị nhỏ nhất trên [0; 3] bằng −9/2?

Phương pháp giải: Chỉ ra hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Giải chi tiết:

Hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 8} \right\}\) nên hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Ta có \(y' = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x{\rm{ + }}8} \right)}^2}}} > 0,\forall m \in \mathbb{R},x \ne - 8\) nên hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Suy ra \(\mathop {min}\limits_{\left[ {0{\rm{;}}3} \right]} y = y\left( 0 \right) = - \frac{{{m^2}}}{8}\). Từ giả thiết suy ra\( - \frac{{{m^2}}}{8} = - \frac{9}{2} \Leftrightarrow {m^2} = 36 \Leftrightarrow - \frac{{{m^2}}}{8} = - \frac{9}{2} \Leftrightarrow {m^2} = 36 \Leftrightarrow m = \pm 6\).

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.