Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (x + m^2)/(x + 2025) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó?

Tập xác định của hàm số: \(\mathcal{D} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2025} \right\}\).

Đạo hàm của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất: \(y' = \frac{{1 \cdot 2025 - {m^2} \cdot 1}}{{{{\left( {x + 2025} \right)}^2}}} = \frac{{2025 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 2025} \right)}^2}}}\).

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì đạo hàm phải dương trên \(\mathcal{D}\):

\(y' > 0 \Rightarrow 2025 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < 2025 \Leftrightarrow - 45 < m < 45\).

Vì \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 44; - 43; \ldots ;43;44} \right\}\).

Số các giá trị nguyên của \(m\) là: \(44 - \left( { - 44} \right) + 1 = 89\) giá trị.

Đáp án: 89.